【統計学】カイ二乗検定３ 独立性の検定 ( 解説編 )　

カイ二乗検定については、カイ二乗検定、その１とその２で適合度検定を扱いました。

 

【統計学】カイ二乗検定１ 適合度検定 ( 解説編 )　

2020.3.8

医学部学士編入生命科学試験では、特にカイ二乗検定を用いる問題が、比較的多くの受験校で出題されています。実際、管理人が受験していた2017年の医学部学士編入試験の入試問題では鹿児島大...

【統計学】カイ二乗検定２ 適合度検定 ( 演習編 )

2017.10.26

今回は適合度検定の演習編です。医学部学士編入試験で出題された実際の問題や、類題たくさん用意しましたので、全問題を解いて練習してみてください。 適合度検定について 適合度検定の基本事...

ここでは、カイ二乗検定を用いるもう一つの検定である『 独立性の検定 』について解説しています。

独立性の検定とは

計算の手順

そして、ここでもやることは適合度検定のときと同じように、食い違い度 を計算します。

【手順】

例題

【問題】

『 髪の色 』と『 瞳の色 』という２つの属性に関連があるかどうかを調べたい。日本人１００人について調査を行い、クロス表を作成したところ以下のようになった。

帰無仮説 H₀：瞳の色と髪の色には関連はない ( ２つの属性は独立である )

対立仮説 H₁：瞳の色と髪の色には関連はある ( ２つの属性は独立でない )

上記のように帰無仮説を定め、有意水準α = 0.05 で統計学的に検定せよ。必要があれば、以下のカイ二乗分布表を用いよ。

カイ二乗分布表とその見方

2020.3.5

カイ二乗分布表 具体例 例えば、カテゴリー数 6 であるとき、自由度は 6 - 1 = 5 である。信頼区間が 95 % であるとき、つまり、1 - α = 0.95 のとき、有...

注意

観測度数はすでにクロス表に与えられていますので、期待度数の求め方の注意ですが、『２つの属性が互いに独立である 』とは、

　属性 A に関する事象 A_i
　属性 B に関する事象 B_j が常に独立であること

であり、それは以下と同値である。

　P( A_i ∩ B_j ) = P( A_i ) × P( B_j )              ←  ∩ は『 かつ 』の意味です。
　が全ての i と j の組み合わせで成立すること

です。これを使って期待度数を計算していきます。

【解答】

例えば、瞳の色、髪の色がともに茶色の場合について期待度数を計算する。帰無仮説である、２つの属性が独立であるとすると、独立の定義より、

P ( 瞳が茶色 ∩ 髪が茶色 ) = P ( 瞳が茶色 ) × P ( 髪が茶色 )

となるから、全体の人数が100 ( = N とおく ) であることを考えると、瞳の色、髪の色がともに茶色である場合の期待度数は、

期待度数 = N × P ( 瞳が茶色 ∩ 髪が茶色 )

= N × P ( 瞳が茶色 ) × P ( 髪が茶色 )     ← 独立性を使った！

= N × \(\frac{50}{N}\) × \(\frac{40}{N}\)

同様に、

P ( 瞳が茶色 ) = 50/N     P ( 瞳が黒色 ) = 40/N     P(瞳が灰色) = 10/N
P ( 髪が茶色 ) = 40/N     P ( 髪が黒色 ) = 60/N

であることから、クロス表の(  )内に期待度数を記載すると以下のようになる。

上記のクロス表より 食い違い度 を計算すると以下のようになる。

　χ₀² = \(\frac{(20 -20)^2}{20}+ \cdots +\frac{(5 -6)^2}{6}=\frac{25}{48}= 0.5208...\) である。

この 食い違い度 χ₀² は近似的に自由度 ( 3 - 1 )( 2 - 1 ) = 2 のχ² 分布に従う。自由度 2 のχ² 分布の上側 ５%点は以下の表より

カイ二乗分布表とその見方

2020.3.5

カイ二乗分布表 具体例 例えば、カテゴリー数 6 であるとき、自由度は 6 - 1 = 5 である。信頼区間が 95 % であるとき、つまり、1 - α = 0.95 のとき、有...

　χ2 (2,  0.05) = 5.99

であるから、

　χ₀² = 0.52 < 11.1

であり、棄却されない。(食い違い度がこの値になる可能性が、確率５%以下ではない、すなわち有り得る現象)

つまり、偏りがあるとは言えない。

(解答おわり)

注意１

一般的に、クロス表の中の期待度数に『 １未満 』の値が存在する場合や、『 5 未満 』のマス目全体の２０% を占める場合などは、χ² 分布への近似を悪化させないための配慮として、隣の同じ属性同士のセルを結合することが推奨されています。(それができない場合は、Fisher の正確確率検定を行います。)期待度が小さいときは、食い違い度に与える影響が大きいことが知られています。

例えば、以下のような場合で新しく検討してみましょう。数字は全体的に大きく変えてあります。

このとき、同様に計算してみると

χ₀² = \(\frac{(27 - 16)^2}{16}+ \cdots +\frac{(44 -33)^2}{33}=21.711\) である。

この 食い違い度 χ₀² は近似的に自由度 ( 3 - 1 )( 2 - 1 ) = 2 のχ² 分布に従う。自由度 2 のχ² 分布の上側 ５%点は以下の表より

カイ二乗分布表とその見方

2020.3.5

カイ二乗分布表 具体例 例えば、カテゴリー数 6 であるとき、自由度は 6 - 1 = 5 である。信頼区間が 95 % であるとき、つまり、1 - α = 0.95 のとき、有...

　χ2 (2,  0.05) = 5.99

であるから、

　χ₀² = 21.711 > 5.99

であり、今度は棄却されます。(食い違い度がこの値になる可能性が、確率５%以下ではない、すなわち有り得る現象)

つまり、偏りがあるとはいえます。

しかし、注意にあるように、クロス表に『 5 未満 』のマス目全体の２０% を占める場合などは、χ² 分布への近似を悪化させないための配慮として、隣の同じ属性同士のセルを結合することが推奨されているため、以下のようにセルを結合してみます。

このとき、同様に計算してみると

χ₀² = \(\frac{(29 - 18)^2}{18}+ \cdots +\frac{(44 -33)^2}{33}=18.2...\) である。

この 食い違い度 χ₀² は近似的に自由度 ( 2 - 1 )( 2 - 1 ) = 1 のχ² 分布に従う。自由度 1 のχ² 分布の上側 ５%点は以下の表より

カイ二乗分布表とその見方

2020.3.5

カイ二乗分布表 具体例 例えば、カテゴリー数 6 であるとき、自由度は 6 - 1 = 5 である。信頼区間が 95 % であるとき、つまり、1 - α = 0.95 のとき、有...

　χ2 (1,  0.05) = 3.84

であるから、

　χ₀² = 18.2... > 3.84

よってこの場合も棄却されます。すなわち、この場合も二つの属性は独立でないといえます。しかし、一般的にはセルの結合によって検定結果が変わってくる可能性もありますので、注意が必要です。

注意２

クロス表がもともと、２×２の場合は、

イエーツの補正

もしくは、上述した

フィッシャーの正確確率検定 ( Fisher’s exact test )

を用います。

まとめ

この分野は、生命科学の問題と関連づけて出題されたりしますので、練習をしておくと良いと思います。

【統計学】カイ二乗検定４ 独立性の検定 ( 演習編 )　

2020.3.8

ここではカイ二乗検定の、独立性の検定についての演習をします。医学部学士編入試験でも頻出の範囲だから、しっかり練習しておきましょう。 カイ二乗分布については、適合度検定についても復習...