【統計学】二項分布を基本からわかりやすく解説！期待値、分散の計算まで

2019年11月26日 2019年12月7日

管理人

ここでは、二項分布の知識について学んでいきます。二項分布はベルヌーイ試行とも呼ばれ、統計学の分野でも非常に重要な確率分布の一つです。また、n が十分に大きいとき、中心極限定理を用いて正規分布へ近似することにより区間推定を行なうこともできますし、確率変数を各確率変数の和へ分解して考えることで、母比率の区間推定や、母比率の検定の分野での理解が進みます。そのため、この二項分布はしっかりと学んでおく必要があります。基本から確認していきましょう。

ベルヌーイ試行(独立試行)とは？

以下の3条件を満たすものをベルヌーイ試行(独立試行)と呼ぶ。

① 各試行において、 $A$ (成功) と $A^c$ (失敗) のみ起こる。
② 各試行において、$P(A)= p$ は一定値をとる。
③ 各試行は互いに独立である。

このことを踏まえて、以下の二項分布を定義します↓

二項分布の定義

１回ごとの $A$ (成功)の起こる確率が $p$ である $n$ 回のベルヌーイ試行において、$n$ 回中 $A$ が起こる確率が $X (= k)$ 回であるときの確率は
$$P(X＝k) = {}_n \mathrm{ C }_kp^k(1ーp)^{n-k}$$となる。この形で表現される、離散型確率分布を二項分布 (Biominal distribution) とよび、$B(n,p)$ と書く。そして確率変数 $X$ が二項分布に従うとき
$$X〜B(n,p)$$とかく。

このときの$$X〜B(n,p)$$ の $n$ は n 回の試行を行なうこと、$p$ は成功 (A) の確率が p であることを意味しています。

二項分布の確率変数を各確率変数の和へ分解する！

二項分布の確率変数を、各確率変数の和へと分解することができます！これは、ベルヌーイ試行のなせる技であり、このことで二項分布の期待値、分散を一瞬で計算することが可能になります。

確率変数 $X_i\,(i=1,2,\cdots,n)$ を、$A$ が起こる時には $1$、$A$ が起こらない時には $0$ をとる確率変数として導入すると
\[
X_i = \begin{cases}
1 & (確率\,p) \\
0 & (確率\,1-p)
\end{cases}
\]と書ける。このとき、二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ は、 $B(1,p)$ に従う互いに独立な確率変数 $X_1、X_2、\cdots 、X_n$ の総和とみなすことができる。すなわち、$$X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$$と書ける。

$X_1、X_2、\cdots、X_n$ が各々 $1$ か $0$ の値を取るので、その合計が全体 n 回の試行において、 $A$ が起こる回数になるというわけです。

二項分布の期待値と分散の計算

上記の確率変数の分解を行えば、二項分布の期待値と分散の計算が一瞬で可能になります。実際に、細かく計算を行なっていくことでも求められますので、それは別記事を参照してください。

二項分布 $B(n,p)$ に従う、確率変数 $X$ は、$B(1,p)$ に従う n 個の互いに独立な確率変数 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ の総和とみなすことができる。ここで、各確率変数 $X_i\,(i=1,2,\cdots,n)$ に関して、期待値と分散は、\[
\left\{ \begin{array}{ll}
E[X_i] &= 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p\\
V[X_i] &= (1-p)^2\cdot p + (0-p)^2\cdot(1-p) = p(1-p)
\end{array} \right.
\]したがって、期待値と分散の加法性より、\[
\left\{ \begin{array}{ll}
E[X]= nE[X_i] = np\\
V[X]= nV[X_i]= np(1-p)
\end{array} \right.
\]

このように一瞬で計算できます。この計算で注意してもらいたいのは、分散に関しては、各確率変数が互いに独立であることから加法性が成り立つことです。期待値に関しては、各確率変数が独立でなくても加法性は成立します。