【統計学】母比率の検定をわかりやすく解説！！

解法手順

① 母集団から得られる、ある確率変 \(X_n\) が \(B(1, p)\) に従うことを言う。

$$Xn \sim  B(1, p)$$

② 確率変数の和 \(X_1+\cdots+X_n \) が \(B(1, p)\) に従うことを言う。

$$X_1+\cdots+X_n \sim B(n, p)$$

③ \(B(1, p)\) を中心極限定理により \(N(np, np(1-p))\) へ近似する。

$$X_1+\cdots+X_n \sim  N \bigl(np, np(1-p)\bigr)$$

④ 確率変数の和をサンプル数 \(n\) で割り標本比率を求める。

$$\hat{ p } = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \sim  N\bigl (p, \frac{p(1-p)}{n}\bigr)$$

⑤ 検定統計量は標準正規分布に従う。

$$Z = \frac{\hat{ p }\,\ - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} } \sim  N(0, 1)$$

————— ここまでは区間推定と同じ手順です！！ ————-

⑥ 帰無仮説、対立仮説を設定して有意水準 \(α\) で検定する。

$$帰無仮説 H_0 : p＝p^{\prime}$$

$$対立仮説 H_1 : p\neq p^{\prime}$$

この帰無仮説の元で検定統計量が棄却域の内外どちらかであるかを調べる流れになります。母平均の検定と同じ流れですので、下の記事も併せて確認してみてください。

【統計学】母平均の検定をわかりやすく解説！！

2020.2.16

ここでは『検定』の分野を解説しています。『 検定 』の分野を苦手としている受験生は多いと思いますが、正直この分野は、これまでの区間推定の知識や議論がそのまま使えます。ここまでの理解...

それでは、実際に出題された問題を通して練習していきましょう。まずは、2017 旭川医科大学で出題された問題を見ていきましょう！

① S 病院での手術 B の死亡確率を \(p\)、病院 S におけるこの一年間における手術 B の死亡確率 ( 標本平均確率 ) を \(p'\) とする。確率変数 \(X\) を手術 B で死亡すれば \(1\)、手術 B で死亡しなければ \(0\) のように考えると、確率変数 \(X\) は、二項分布 \(B(1, p)\) に従うとしてよい。

⑥ 次に、帰無仮説、対立仮説を設定して有意水準 α = 0.05 で検定する。

$$帰無仮説 H_0 : p＝0.5$$

$$対立仮説 H_1 : p\neq 0.5$$

この帰無仮説の元で検定統計量が棄却域の内外どちらかであるかを調べる。標本確率より \(p' = 0.58\) であるから

\begin{eqnarray} Z &=& \frac{p' - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} } \\  &=& \frac{0.58 - 0.5}{\sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{100}}} = 1.6 \lt  1.96\end{eqnarray}

① このサイコロの各目の出る確率を各々 \(p\) とする。このサイコロで \(1\) の目が出れば \(1\)、\(1\) の目が出なければ \(0\) のように確率変数 \(X\) を考えると、確率変数 \(X\) は、二項分布 \(B(1, p)\) に従うとしてよい。

⑥ 次に、帰無仮説、対立仮説を設定して有意水準 α = 0.05 で検定する。

$$帰無仮説 H_0 : p＝\frac{1}{6} = \frac{10}{60} $$

$$対立仮説 H_1 : p\neq \frac{1}{6}$$

この帰無仮説の元で検定統計量が棄却域の内外どちらかであるかを調べる。標本確率より\(\frac{550}{3000} = \frac{11}{60} \) であるから

\begin{eqnarray} Z &=& \frac{p' - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{3000}} } \\  &=& \frac{\frac{11}{60} - \frac{10}{60} }{\sqrt{\frac{\frac{10}{60} \times \frac{50}{60} }{3000}}} = \sqrt{6}  \gt  1.96\end{eqnarray}

① 学生 A の問題の正解率を \(p\) とする。問題に正解すれば \(1\)、正解しなければ \(0\) のように確率変数 \(X\) を考えると、確率変数 \(X\) は、二項分布  \(B(1, p)\) に従うとしてよい。

⑥ 次に、帰無仮説、対立仮説を設定して有意水準 α = 0.05 で検定する。

$$帰無仮説 H_0 : p＝\frac{2}{3}$$

$$対立仮説 H_1 : p\neq \frac{2}{3}$$

この帰無仮説の元で、すなわち " 試験勉強をしても成績に差がなかった " と仮定し、検定統計量が棄却域の内外どちらかであるかを調べる。標本確率より \(p' = \frac{7}{8}\) であるから

\begin{eqnarray} Z &=& \frac{p' - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} } \\  &=& \frac{ \frac{7}{8}- \frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}}{8}}} = \frac{5}{4} \lt  1.96\end{eqnarray}

問題４

解答

【ポイント】

この問題では、片側検定しているのがポイントです。これを有意水準５% で両側検定してしまうと、棄却域が １.９６以上となり、検定統計量として求めた １.８ は棄却域に入らないため、帰無仮説は棄却されない。すなわち「 新しい手術方法は従来の手術方法より成功率が向上した 」とは言えなくなってしまう。よって上記のように片側検定で半ば強引に棄却域にねじ込んでいるのである。これはなんだかズルイやり方かもしれないが、データとして新しい手術方法は １００回中 ５９回成功しており、成功率が向上した述べたい時には、このように両側検定ではなく片側検定を行うことによって、直感の意味付けを行うことができます。