【統計学】母比率の区間推定をわかりやすく解説！！

①母集団から得られる、ある確率変 \(X_n\) が \(B(1, p)\) に従うことを言う。

$$X_n \sim  B(1, p)$$

②確率変数の和 \(X_1+\cdots+X_n \) が \(B(n, p)\) に従うことを言う。

$$X_1+\cdots+X_n \sim B(n, p)$$

③\(B(n, p)\) を中心極限定理により \(N(np, np(1-p))\) へ近似する。

$$X_1+\cdots+X_n \sim  N \bigl(np, np(1-p)\bigr)$$

④確率変数の和をサンプル数 \(n\) で割り標本比率を求める。

$$\hat{ p } = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \sim  N\bigl (p, \frac{p(1-p)}{n}\bigr)$$

⑤標準化変数は標準正規分布に従う。

$$Z = \frac{\hat{ p } - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} } \sim  N(0, 1)$$

⑥信頼度を \(1 - α\) として、母比率 \(p\) の信頼区間を求める。

$$-z(\frac{α}{2}) \lt \frac{\hat{ p } - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} } \lt z(\frac{α}{2})$$

ここから母比率 pの区間推定が可能になるが、手計算では母比率を標本比率で近似してよい。

$$-z(\frac{α}{2}) \lt \frac{\hat{ p } - p}{\sqrt{\frac{\hat{ p }(1-\hat{ p })}{n}} } \lt z(\frac{α}{2})$$

となる。

① 手術 B の全国平均の死亡確率を \(p\)、病院 S における手術 B の死亡確率を \(p' = \frac{58}{100}\) ( 標本平均確率 )とする。手術 B で死亡すれば \(1\)、手術 B で死亡しなければ \(0\) のように確率変数 \(X\) を考えると、確率変数 \(X\) は、二項分布 \(B(1, p)\) に従うとしてよい。n 回目の手術 B に関して \(X_n\) のように書くとすると、

$$X_1 \sim  B(1, p)$$

② 手術回数を \(100\) 人で考えると、確率変数の和 \(X_1+\cdots+X_{100} \) は \(B ( 100, p )\) に従う。

$$X_1+\cdots+X_{100} \sim B(100, p)$$

左辺は各々が ０ か 1 であり、100 人のうち手術 B が失敗した件数を表す。

③ \(B(100, p)\) は中心極限定理により \(N(100p, 100p(1-p))\) へ近似できる。

$$X_1+\cdots+X_{100} \sim  N \bigl(100p, 100p(1-p)\bigr)$$

④ 確率変数の和をサンプル数 \(100\) で割り標本比率を求める。

$$ p'  = \frac{X_1+\cdots+X_{100}}{100} \sim  N\bigl (p, \frac{p(1-p)}{100}\bigr)$$

⑤ 標準化変数は標準正規分布に従う。

$$Z = \frac{p' - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{100}} } \sim  N(0, 1)$$

⑥ 次に、全国の手術 B の死亡確率を、信頼区間 \(95\)% \((α = 0.05)\) で求めると以下の式が成り立つ。

問題２

解答

問題 2 で得られた標準誤差 SE ( standard error ) は次の式で表せられる

$$SE = z(\frac{α}{2}) \sqrt{\frac{\hat{ p }(1-\hat{ p })}{n}}$$

この式を変形して、ルート内が最大になるときを考えればよい。ルート内が最大となるのは \(\hat{ p } = 0.5\) の時であるから

\begin{eqnarray} 2SE &=& 2z(\frac{α}{2}) \sqrt{\frac{\hat{ p }(1-\hat{ p })}{n}}\\  &\leq & 2 z(\frac{0.05}{2}) \sqrt{\frac{0.05(1-0.05)}{n}}\\  &\leq & 0.04\end{eqnarray}

上記の式を \(n\) について解くと

$$2401 \leq n$$

となる。

問題４

解答

標準誤差 SE ( standard error ) の幅が、今回は \(2k\) であり、次回に \(k\) ( 半分 ) にするためには

$$2z(\frac{α}{2}) \sqrt{\frac{\hat{ p }(1-\hat{ p })}{n}} \leq 2k$$

$$2z(\frac{α}{2}) \sqrt{\frac{\hat{ p }(1-\hat{ p })}{4n}} \leq k$$

つまり、信頼係数 \(1-α\) を固定してサンプルサイズを \(4\) 倍にすればよい。