【統計学】正規分布と標準正規分布についてわかりやすく解説 〜標準化変数から中心極限定理の応用まで〜

医学部学士編入

合格くん
合格くん

こんにちは!合格です〜!!

ここでは、統計学の分野で最も重要であり、かつ役に立つ分布である正規分布標準正規分布、そして標準化変数による標準化ついて解説するね!!

かえる
かえる

ちっ、今日も暇だから聞いてやるケロ。

正規分布とは?

合格くん
合格くん

正規分布の確率確率密度関数は、次のように定義されているよ!

期待値を \(μ\)、分散を \(σ^2\) とすると、$$\small{f_N(x) =\frac{1}{\sqrt{2π}{σ}}e^{ \frac{-(x-μ)^2}{2σ^2} }}$$

この関数は、 \(μ\) と \(σ^2\) によって分布が一つに決まるんだ!

 

この正規分布は、別名『ガウス分布』とも呼ばれているんだけど、この \(μ\) と \(σ^2\) を母平均と母分散にもつ正規分布は、\(N\) (\(μ\) , \(σ^2\)) と表記されることも知っておこう!このことは『母集団の点推定』の記事でも解説しているので、チェックしてみてね!

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かえる
かえる

なるほど。前にやった二項分布の時とは、表記がちょっと違うケロな?二項分布のときは、\(B\) (\(n\) , \(p\)) って書いてあったケロ。

 

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合格くん
合格くん

お〜よく気が付いたね!!

正規分布の場合は、\(N\) (\(μ\) , \(σ^2\)) と表記されていて、左から1つ目が期待値、左から2つ目が分散であることに注意しよう!!

 

 

かえる
かえる

なるほど。。

\(N\) (\(μ\) , \(σ^2\)) は 正規分布 ( 期待値 ,  分散)

\(B\) (\(n\) , \(p\)) は 二項分布 ( n回試行 ,  各試行でA(成功)が起こる確率)

てことだケロな。

合格くん
合格くん

そのとおりだね!

そして、ここで正規分布のうち、期待値が 0 、分散が 1 となるような分布、つまり \(N\) (\(0\) , \(1\)) を標準正規分布と呼ぶんだ!

かえる
かえる

式ではこうなるケロな。

$$\small{f_N(x) =\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{ \frac{-x^2}{2} }}$$

正規分布 標準正規分布の特徴

合格くん
合格くん

それじゃあ、実際のグラフを見てみよう!!

 

かえる
かえる

このカラフルなグラフ達の特徴はなんだケロ?

左右対称で横軸の両端は0だケロな。

合格くん
合格くん

そうだね!具体的には以下の特徴があるよ!!

① 直線 \(x=μ\,(=0)\) に関して左右対称

② \(x=μ\,(=0)\) で最大値 \(\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\) をとる

③ \(x=±\infty\) で \(0\)

④ 分散 \(σ^2\) が大きいほどグラフの山は低くなり、裾野が広がる

⑤ \(x=±σ\) で変曲点をとる

かえる
かえる

分散が小さいほど、グラフはとんがっていくケロな。ワイも分散を小さくして、とんがって生きていくケロ。

 

正規分布の標準化 〜標準化変数〜

合格くん
合格くん

次は、標準化変数についてだ! 正規分布は、以下の変数を用いて正規分布から標準正規分布へ変換することができるんだ!!

 

 

かえる
かえる

なんでだケロ??

合格くん
合格くん

確これは以下の計算で \(E[Z]\) と \(V[Z]\) を計算してみれば求められるよ!

 

 

かえる
かえる

なるほど、理解できたケロ。要は、下の記事で証明した期待値と分散の公式を使えばいいケロな。

【統計学】期待値 分散の公式 〜離散型と連続型における公式をわかりやすく証明〜
合格くん こんにちは!合格...
合格くん
合格くん

その通りだね!!

統計学の分野では、期待値と分散の値によって、様々な形の正規分布が得られるので、この標準化変数を使うことでただ一つの分布へ変換して考えることが可能になるんだ!

 

標準化変数の使用例 〜中心極限定理からの応用〜

 

合格くん
合格くん

それじゃあここで、標準化変数の使用例を一つやってみようか!『中心極限定理 その1』の記事で、中心極限定理について、解説したのを覚えているかい?

かえる
かえる

当然だケロ↓

互いに独立であり、かつ同一分布に従う確率変数 \(X_1 , X_2 , \cdots , X_n\) が \(E[X_i]=μ\)、\(V[X_i]=σ^2\) であるとき、n が十分大きければ、その和 \(X_1 + X_2 + \cdots + X_n\) の分布は、正規分布 \(N( nμ , nσ^2)\) で近似できる!!

合格くん
合格くん

そのとおりだね!!

この \(μ\) と \(σ^2\) は『一回ごとの期待値』、『一回ごとの分散』と考えておくと覚えやすいよ!

 

で、てことはだよ?

このことを、二項分布に当てはめてみると、

すなわち、

 

このように、n が十分に大きい時は、二項分布を標準化変数を使えば、問題が標準正規分布の問題へと帰着させることができるんだ!!すごくない!?

 

かえる
かえる

これはたしかにすごいケロな。

まとめ

合格くん
合格くん

今回学習した標準化変数は演習問題を解いて行くことで、その効力が理解できると思うよ!!

かえる
かえる

演習やらないとわからないケロ。

 

統計学 参考書

以下に、統計学を学ぶ上で参考になった教材をいくつか挙げておきます。

独習 統計学24講: 医療データの見方・使い方

式での計算過程は少し足りないと思いますが、文章で丁寧に説明されており理解が進みました。

 

スバラシク実力がつくと評判の統計学キャンパス・ゼミ―大学の数学がこんなに分かる!単位なんて楽に取れる!

計算でゴリゴリ証明してくれているので、根底から理解できます。

 

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

東京医科歯科大学の教養時代はこの教科書を用いて勉強していました。