【統計学】期待値 分散の公式 〜離散型と連続型における公式をわかりやすく証明〜

医学部学士編入

合格くん
合格くん

こんにちは!合格です!!

ここでは、期待値と分散の公式を解説するよ!これは、確率変数について「とる値が離散的な離散型確率変数」と、「とる値が連続的な連続型確率変数」のどちらでも成立するのでその証明までしっかりやるね!!あ、下の記事も参考にしてみてね!

【統計学】離散型確率変数と確率分布〜二項分布との違いについて〜
合格くん こんにちは!合格...
【統計学】連続型確率変数
合格くん こんにちは!! ...
かえる
かえる

証明よろしく頼むケロ〜

証明するべきもの

合格くん
合格くん

まずは証明したい式を下に書いてみたよ!

かえる
かえる

たくさんあるけど、結局は定義に従って計算すればいいだけだケロ?

合格くん
合格くん

そのとおりだね!まずは、期待値と分散の定義を確認してみよう!離散型確率変数と、連続型確率変数で定義が違うけど、結局やってることは同じだよ!離散型はシグマ記号 \(\sum_{ i = 1 }^{ n } \) で足しているのに対して、連続型はインテグラル記号 \(\int_{-\infty}^{\infty}\) で足しているだけなんだ! 

 

かえる
かえる

やっぱり数学は、定義をしっかり覚えることが大切なんだケロな〜。

合格くん
合格くん

そうだね!それじゃあ、実際に計算してみよう!!くどいかもしれないけど、離散型と連続型ともにしっかり計算過程を示してみるので、一度はしっかりと自分の手で計算過程を追ってみるといいよ!!

離散型確率変数 期待値の公式 証明

合格くん
合格くん

それじゃあ、①〜③の公式について、証明していくね!

 

 

かえる
かえる

③ は ① と ② を合わせたものだケロね。

合格くん
合格くん

そうだね!確率変数は、期待値のカッコから変数を外に出して、上記のように変形できるんだね。次は分散公式の証明に挑戦してみよう!

離散型確率変数 分散の公式 証明

合格くん
合格くん

それじゃあ次は分散の公式 ④ と ⑤ について証明するね!

 

かえる
かえる

この公式⑤は有名公式だケロね。

合格くん
合格くん

そうだね!この公式は、有名公式で「二乗の期待値 引く 期待値の二乗」でめちゃくちゃ有名な公式なので、すぐに導けるようにしておこう!!

連続型確率変数 期待値の公式 証明

合格くん
合格くん

それじゃあ、次は連続型について説明するね!さっきと同じように、①〜③の公式を一気に証明するよ!

 

かえる
かえる
結局さっきと同じだケロ。要は、Σ と ∮  が違うだけだケロ?
合格くん
合格くん

そのとおりだね!やっていることは、離散型確率変数でも連続型確率変数でも、本質は同じなんだよ!

 

連続型確率変数 分散の公式 証明

合格くん
合格くん

同じように、④ と ⑤ の公式を証明するね!!

 

 

 

まとめ

合格くん
合格くん

おつかれさま! ようやく証明が終わったね! 結局結論としては、確率変数が離散型であっても、連続型であっても期待値と分散の公式は成り立つってことが証明されたね!

かえる
かえる

てことは、まとめるとこの表の ① 〜 ⑤ の公式はどっちの確率変数でも使えるケロな。

合格くん
合格くん

そうだね!特にこの公式 ⑤ は二項分布の分散公式を証明するときに使えるので、導出も含めてしっかり押さえておこうね!!

一度は自分の手で最初から最後まで計算してみることをオススメするよ!

かえる
かえる

ワイは手で計算しなくとも、脳内で計算出来るから秒でこの記事読み終わったケロ。さてと〜、温泉でもいくケロかぁ。

 

統計学 参考書

以下に、統計学を学ぶ上で参考になった教材をいくつか挙げておきます。

独習 統計学24講: 医療データの見方・使い方

式での計算過程は少し足りないと思いますが、文章で丁寧に説明されており理解が進みました。

 

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

東京医科歯科大学の教養時代はこの教科書を用いて勉強していました。