【統計学】離散型確率変数と確率分布〜二項分布との違いについて〜

2019年12月1日 2019年12月2日

管理人

合格くん

こんにちは！合格です！！

突然だけど、確率変数には「とる値が離散的な離散型確率変数」と、「とる値が連続的な連続型確率変数」があるってことは知ってるかな？ここでは離散型確率変数について解説するね！あっ！「りさん」って言っても、「一家離散」でも「東大理三」でもないよ！

合格くん

それじゃあ行ってみよう！

離散型確率変数の定義

合格くん

まずは離散型確率変数の確率分布の定義から解説していくよ！！まずは、下の定義を確認してみてよ！

かえる

上等だケロ。

離散型確率変数 $X$ のとる値 $x$ と、$X$ がその値をとる確率 $P(X=x)$ との対応関係を $X$ の確率分布とよぶ。

合格くん

これは、例えば確率変数 $X$ をサイコロを一回振ったときの出目とすると、$X$ のとる値 $x$ は $1,2,3,4,5,6$ のいずれかであって、それらの確率 $P(X=1),\cdots,P(X=6)$ は各々 $\frac{1}{6}$ の値をとる。この対応関係を確率分布と呼ぶんだね！

$x$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$P(X=x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

かえる

フン、こんなの当たり前だケロ。

離散型確率変数の性質

合格くん

それじゃあ次は、離散型確率変数には次のような性質がある事も理解しておこう！

離散型確率変数 $X$ のとる値を $x_1,x_2,\cdots,x_n$ とおくとき、確率 $P(X=x_i)\,(i=1,2,\cdots,n)$ に関して$$P(X=x_i) \geq 0 \,(i=1,2,\cdots,n)$$かつ$$\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } P(X=x_i) = 1$$ を満たす。

かえる

これも当たり前だケロ。要は、各々の確率は 0 以上だし、全部足したら 1 になるってことだケロ。

合格くん

そうゆうことだね！離散型確率変数は簡単かもしれないけど、もう一方の連続型確率関数については、一つの値で確率が定義できないので少し注意が必要だよ！下の記事で確認してみてね！

離散型確率分布の例

合格くん

有名な離散型確率変数の具体例としては、以下の2つがあるんだよ！

・二項分布

・ポアソン分布

かえる

連続型確率変数はどうなんだケロ？

合格くん

有名な連続型確率変数の具体例としては、以下の4つがあるよ！

・正規分布

・t分布

・F分布

・カイ二乗分布

受験で問われるのはこの4つなので、しっかりと押さえておこう！各確率分布については、下にある別の記事を参照してみてね！

【統計学】二項分布を基本からわかりやすく解説！期待値、分散の計算まで

2019.11.26

ここでは、二項分布の知識について学んでいきます。二項分布はベルヌーイ試行とも呼ばれ、統計学の分野でも非常に重要な確率分布の一つです。また、n が十分に大きいとき、中心極限定理を用い...

期待値分散標準偏差の定義

合格くん

それじゃあ、期待値と分散、そして標準偏差の定義を確認していこう！

期待値 $μ$ $$E[X]=\sum_{i=1}^{n} x_iP_i=x_1P_1+\cdots+x_nP_n$$
分散 $σ^2$
\[\small
\begin{align}
V[X] &= \sum_{i=1}^{n} (x_i-μ)^2P_i\\
&=(x_1-μ)^2P_1+\cdots+(x_n-μ)^2P_n
\end{align}
\]

かえる

標準偏差は $σ=\sqrt{V[X]}$ だケロ？

合格くん

そうゆうことだね！この定義は本当に基本だからしっかりと覚えておこう！！期待値 $μ$ は、(確率変数)×(その確率) の総和で定義され、分散 $σ^2$ は、(確率変数と期待値の差)²×(その確率) の総和で定義されているね！