【統計学】離散型確率変数と確率分布〜二項分布との違いについて〜

医学部学士編入

合格くん
合格くん

こんにちは!合格です!!

突然だけど、確率変数には「とる値が離散的な離散型確率変数」と、「とる値が連続的な連続型確率変数」があるってことは知ってるかな?ここでは離散型確率変数について解説するね!あっ!「りさん」って言っても、「一家離散」でも「東大理三」でもないよ! 

かえる
かえる

さむっ。一気にツンドラ地帯だケロ。

合格くん
合格くん

それじゃあ行ってみよう!

離散型確率変数の定義

合格くん
合格くん

まずは離散型確率変数の確率分布の定義から解説していくよ!!まずは、下の定義を確認してみてよ!

かえる
かえる

上等だケロ。

離散型確率変数 \(X\) のとる値 \(x\) と、\(X\) がその値をとる確率 \(P(X=x)\) との対応関係を \(X\) の確率分布とよぶ。
合格くん
合格くん

これは、例えば確率変数 \(X\) をサイコロを一回振ったときの出目とすると、\(X\) のとる値 \(x\) は \(1,2,3,4,5,6\) のいずれかであって、それらの確率 \(P(X=1),\cdots,P(X=6)\) は各々 \(\frac{1}{6}\) の値をとる。この対応関係を確率分布と呼ぶんだね!

\(x\) \(1\)  \(1\)  \(1\)  \(1\)  \(1\)  \(1\)
\(P(X=x)\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\)
かえる
かえる

フン、こんなの当たり前だケロ。

離散型確率変数の性質

合格くん
合格くん

それじゃあ次は、離散型確率変数には次のような性質がある事も理解しておこう!

離散型確率変数 \(X\) のとる値を \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) とおくとき、確率 \(P(X=x_i)\,(i=1,2,\cdots,n)\) に関して$$P(X=x_i) \geq 0 \,(i=1,2,\cdots,n)$$かつ$$\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } P(X=x_i) = 1$$ を満たす。
かえる
かえる

これも当たり前だケロ。要は、各々の確率は 0 以上だし、全部足したら 1 になるってことだケロ。

合格くん
合格くん

そうゆうことだね!離散型確率変数は簡単かもしれないけど、もう一方の連続型確率関数については、一つの値で確率が定義できないので少し注意が必要だよ!下の記事で確認してみてね!

 

離散型確率分布の例

合格くん
合格くん

有名な離散型確率変数の具体例としては、以下の2つがあるんだよ!

・二項分布

・ポアソン分布

かえる
かえる

連続型確率変数はどうなんだケロ?

合格くん
合格くん

有名な連続型確率変数の具体例としては、以下の4つがあるよ!

・正規分布

・t分布

・F分布

・カイ二乗分布

受験で問われるのはこの4つなので、しっかりと押さえておこう!各確率分布については、下にある別の記事を参照してみてね!

【統計学】二項分布を基本からわかりやすく解説!期待値、分散の計算まで
ここでは、二項分布の知識について学んでいきます。二項分布はベ...

期待値 分散 標準偏差の定義

合格くん
合格くん

それじゃあ、期待値と分散、そして標準偏差の定義を確認していこう!

期待値 \(μ\)  $$E[X]=\sum_{i=1}^{n} x_iP_i=x_1P_1+\cdots+x_nP_n$$
分散 \(σ^2\)  
\[\small
\begin{align}
V[X] &= \sum_{i=1}^{n} (x_i-μ)^2P_i\\
&=(x_1-μ)^2P_1+\cdots+(x_n-μ)^2P_n
\end{align}
\]

かえる
かえる

標準偏差は \(σ=\sqrt{V[X]}\) だケロ?

合格くん
合格くん

そうゆうことだね!この定義は本当に基本だからしっかりと覚えておこう!!期待値 \(μ\) は、(確率変数)×(その確率) の総和 で定義され、分散 \(σ^2\) は、(確率変数と期待値の差)2×(その確率) の総和 で定義されているね!

 

二項分布との違いに注意!

合格くん
合格くん

ここでよく聞かれるんだけど、確率変数の設定の仕方が二項分布とごっちゃになるって言われるんだよね! \(X=x_i\) なのか \(X=x\) なのか \(X=k\) なのかって。かえるくんはわかる?

かえる
かえる

フン、そんなやつがいるケロか?そいつは、ベルヌーイ試行について理解してないケロな。下の記事をみてから出直してくるケロな。

【統計学】二項分布を基本からわかりやすく解説!期待値、分散の計算まで
ここでは、二項分布の知識について学んでいきます。二項分布はベ...
合格くん
合格くん

辛口だね苦笑

でも確かに。そういう人はたぶん、二項分布が離散型確率分布の中の一つで有ることを意識すればいいと思うよ!つまり下の図のような関係だね!

二項分布は上の記事にあるようにベルヌーイ試行のことを言っているので、毎回の確率変数が \(x_i\) ではなくて \(k\) に決まっているんだ。だから、より具体的になっていると考えればいいと思うよ!

あ!もちろん、文字はなんでもいいので、二項分布の確率変数は \(k\) じゃなくて \(x\) でもいいからね!!

まとめ  

合格くん
合格くん

おつかれさま!離散型確率変数とその分布について、少しは理解できたかな?二項分布との違いにも注意しておきたいね!別の記事では、離散型確率分布の期待値と分散の公式の導出も解説しているので、チェックしてみてね!!

かえる
かえる

さぁ、ワイは勉強も終わったし、これから飲みに行くケロ〜

合格くん
合格くん

連続型確率変数と確率密度関数については、以下の記事を参照してみてね!!

【統計学】連続型確率変数
合格くん こんにちは!! ...

 

 

統計学 参考書

以下に、統計学を学ぶ上で参考になった教材をいくつか挙げておきます。

独習 統計学24講: 医療データの見方・使い方

式での計算過程は少し足りないと思いますが、文章で丁寧に説明されており理解が進みました。

 

統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)

東京医科歯科大学の教養時代はこの教科書を用いて勉強していました。