【統計学】連続型確率変数

医学部学士編入

合格くん
合格くん

こんにちは!! 合格です!  

確率変数には「とる値が離散的な離散型確率変数」と、「とる値が連続的な連続型確率変数」があったよね!ここでは連続型確率変数について解説するね!離散型確率変数については、下の記事を参照してね↓

【統計学】離散型確率変数と確率分布〜二項分布との違いについて〜
合格くん こんにちは!合格...

 

連続型確率変数の定義

合格くん
合格くん

まずは連続型確率変数の確率分布の定義から解説していくよ!連続型確率分布は、離散型と違って面積で定義されることに注意してね!!

かえる
かえる

カモンだケロ。

連続型確率分布は、以下の条件を満たす確率密度関数 f(x) により定義される。
$$f(x) \geq 0\,,\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $$であり、$$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$$
合格くん
合格くん

これは、式だけパッとみるとなんだかわかりづらいんだけど、かえる君はわかるかな?

かえる
かえる

簡単だケロ。要は、上の式は関数が常に 0 以上の値を取っていて、面積を端から端まで計算すると、それが全部で 1 になるってことだケロ。下の式は、範囲が限られている場合の確率で図示すると下のような意味だケロ。

 

合格くん
合格くん

さすがかえる君だなぁ!その通り。ただし、連続型の確率分布では面積で確率を定義しているので、確率変数は範囲で指定しないと、確率は 0 になってしまうことに注意しよう! 次にそのことを説明するよ!!

 

連続型確率変数の性質

合格くん
合格くん

連続型確率分布を、もしただ一つの確率変数の値で指定すると、線になっちゃうのはわかるかな?

かえる
かえる

当たり前だケロ。例えば、「ある大学の、大学1年生から無作為に選んだ一人の身長を確率変数 X cm とすると、X は連続型確率変数になるケロ。身長は無限に細かく測れるので、170cm かもしれないし、170.1 cm かもしれない。170.01 cm かもしれないケロ。なので、ただ一つの値となる確率は定義できないし、グラフでいうと線になるケロ。

合格くん
合格くん

そうゆうことだね!下の図を見てみよう!

この図の右上のように、ある値だけでは面積がゼロになっちゃうんだ。なので、左上のように範囲をして面積を確率として考えるというのが、連続型確率分布の考え方なんだ!

 

連続型確率分布の例

合格くん
合格くん

有名な連続型確率変数の具体例として、以下の4つがあるよ!

・正規分布

・t分布

・F分布

・カイ二乗分布

受験で問われるのはこの4つなので、しっかりと押さえておこう!

かえる
かえる

たくさんあって面倒だケロな。

 

累積分布関数

合格くん
合格くん

連続型確率分布の補足事項として、累積分布関数というものがあるよ!分布関数と呼ぶこともあるから注意しよう!

 

かえる
かえる

安全確率で使われるやつケロね。例えば、トラックの積載重量を確率変数 \(X\) としたとき、トラックの積載重量の安全値  \(x\) を下回る確率は、そのトラックを安全に運転できる積載重量になる、みたいなやつだケロ。

合格くん
合格くん

そうだね!ある確率密度関数を得たいときに、この累積分布関数を求めてから、それを微分することで得られるっていうメリットがあるんだ!

 

かえる
かえる

それはさすがに意味不明だケロ。

合格くん
合格くん

これは実際に問題を解いてみるとよくわかるよ!また別の記事で紹介するね!

まとめ  

合格くん
合格くん

おつかれさま!今回は連続型確率変数と確率密度関数についての学習だったね!基本的には、離散型確率分布と本質は変わらないんだ。ただ、連続型の方は、面積で確率を考えるってことが大切で、特定の一つの値では確率は定義されないってことだったね! あと、累積分布関数の定義についても勉強したね!!

かえる
かえる

早く演習問題やりたいケロ。

 

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