【統計学】カイ二乗検定２ 適合度検定 ( 演習編 )

適合度検定について

適合度検定の基本事項については、以下の記事を参照してください。

サイコロを 210 回振るとする。出た目がそれぞれ、1 の目 25 回、2 の目 30 回、3 の目 35 回、4 の目 40 回、5 の目 35 回、6 の目 45 回出たとする。このサイコロは歪んでいるといえるか？ 必要があれば、下のカイ二乗分布表を用いて良い。

【 カイ二乗分布表 】

帰無仮説：H₀ = 「 サイコロの出目に差はない 」( サイコロは歪んでいない )

問題１で出目を 1 の目 55 回、2 の目 10 回、3 の目 25 回、4 の目 20 回、5 の目 35 回、6 の目 65 回出たとする。このサイコロは歪んでいるといえるか？必要があれば、下のカイ二乗分布表を用いて良い。

【 カイ二乗分布表 】

 問題１と比べて変化した値を赤数字にしてある。

χ₀² を計算すると、

Σ (O - E)^2/E = (400+625+100+625+0+900)/35 = 2650/35 = 75.714... >11.07 ( 自由度 5、有意水準 0.05 )

この場合、検定量 χ2 値が 11.07 を上回っており棄却域に存在する。つまり、この仮説が起こる確率は 5 % より小さいことがわかる。よって、この仮説が起こることはほとんど無くて正しくは無い、と結論付ける。対立仮説 H₁ が採用され、

対立仮説 ：H₁ = 「 サイコロに歪みは無いとはいえない 」

となる。

無作為に 300 人標本を選んだつもりであったが、男女比が 3 : 7 となっていた。これは無作為に標本を選んだといえるか？ 必要があれば、下のカイ二乗分布表を用いて良い。

【 カイ二乗分布表 】

( 頻出問題 )

帰無仮説：H₀ = 「 標本の男女比に差は無い 」

日本人の ABO 式血液型の分布は、Ａ 型 40 %，O 型 30 %，B 型 20 %， AB 型 10 %とされている。ある町で 200 人の献血を行ったところＡ 型 45 %，O 型 15 %，B 型 2 5%，AB 型 15 %データを得た。この町の住人の血液型分布は，日本人全体の血液型分布とほぼ同じと見なしてよいか？ 必要があれば、下のカイ二乗分布表を用いて良い。

【 カイ二乗分布表 】

( 頻出問題 )

帰無仮説：H₀ = 「 標本のABO比と日本人全体のそれに差は無い 」

学生 A はこれまでの模擬単語テストでは、10 問のうち 7 問程度の正解率であったが、粉骨砕身猛烈な試験勉強の末に、今回の本番の単語テストでは、100 問のうち 85 問の正解率であった。このことから学生 A の実力が上がったと判断して良いか？ 必要があれば、下のカイ二乗分布表を用いて良い。

【 カイ二乗分布表 】

( 秋田大 改 )

帰無仮説：H₀ = 「 試験前後の学生 A の学力に差は無い 」

(補足１)

因みに秋田大学の問題では、模擬テストでは 3 問中 2 問正解していたが、本番では 8 問中 7 問正解した となっていた。この場合、上と同様の計算を行うと、χ₀² =  1.5625  < 3.8415 ( 標準正規分布の有意水準 0.05 の基準値 1.960 を二乗したもの )  であるから、帰無仮説は棄却されない。つまり、成績は向上したとはいえない。

(補足２)

加えて、秋田大学の問題では、「 次回の模擬テストの問題でも、これと同程度以上の好成績を上げたとしたら成績が向上したと言えるか？ 」という問題が続いていました。この場合、前回の模擬テストでの正解率 2/3 はそのままにして、「 本番では 16 問中 14 問正解した 」と考える。そのまま同様の計算を行うと、χ²= 3.125 < 3.8415 であるから、帰無仮説は棄却されない。つまり、成績が向上したとはいえない。

秋田大学の問題では、χ² 値の表が与えられていないため、本来であればカイ二乗検定ではなく、母比率の検定として解答するべきでした。しかし、上記のようにも解くことができます。原文では以下のような記載がありました。

『 判断基準が必要とされる場合には、危険率５％を用いること。また、標準正規分布に従う変量 z については、P(｜z｜> 2.576) = 0.01、P(｜z｜> 2.326) = 0.02、P(｜z｜> 1.960) = 0.05、P(｜z｜> 1.645) = 0.10、であることがわかっている 』

ある養鶏場でニワトリが産む卵の数を数えたところ月曜日 22 個、火曜日 30 個、水曜日 25 個、木曜日 29 個、金曜日 32 個、土曜日 33 個、日曜日 19 個であった。この養鶏場のニワトリは曜日によって産む卵の数に違いがあるといえるか？必要があれば、下のカイ二乗分布表を用いて良い。

【 カイ二乗分布表 】

帰無仮説：H₀ = 「 養鶏場のニワトリは曜日によって産む卵の数に差は無い 」

エンドウマメの交配実験を行うと、メンデルの法則により「黄色・丸」「黄色・しわ」「緑色・丸」「緑色・しわ」の４種類の形質のマメが９：３：３：１の割合で現れることが分かっている。エンドウマメの交配実験を行った結果、上記の形質を持ったエンドウマメが ４４５：１３３：１５６：３２の割合で出現した。この場合、メンデルの法則が成立しているかどうかについて、有意水準 5 % で検定せよ。必要があれば、下のカイ二乗分布表を用いて良い。

【 カイ二乗分布表 】

( 鹿児島大学 改 )

帰無仮説：H₀ = 「 エンドウマメの形質は９：３：３：１である 」

ヒト常染色体上のメンデル遺伝様式を示す遺伝子 ABC には、A、T、G の３つの対立遺伝子が存在する。日本人２５０名から任意にサンプルを採取し、その遺伝子型を調べたところ、表１の結果を得た。この時、各遺伝子 A、T、G の遺伝子頻度はいくらか？また、これらの観測度数がハーディーワインバーグの法則が成立を仮定した場合の期待度数と適合しているかどうかを統計学的に推察せよ。 必要があれば、下のカイ二乗分布表を用いて良い。

まず遺伝子頻度を求める。