【統計学】二項分布 期待値と分散を直接計算する！

期待値 \(μ\)  $$E[X]=\sum_{k=1}^{n} k \cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$$
分散 \(σ^2\)  $$V[X]=\sum_{k=1}^{n} (k-μ)^2\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$$

【二項分布の期待値公式の証明】
期待値の定義より、\[\small
\begin{align}
E[X] &=\sum_{ k = 0 }^{ n } k\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\
\end{align}
\]であるから、\[\small
\begin{align}
k\cdot {}_n \mathrm{ C }_k &= k\cdot\frac{ n! }{k!\cdot( n - k )! }\\
&=\frac{ n! }{(k-1)!\cdot( n - k )! }\\
&=n\cdot \frac{ (n-1)! }{(k-1)!\cdot \left\{( n-1 )-( k-1)\right\}! }\\
&=n\cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}
\end{align}
\]となることに注意し、\(k=0\) では上式は定義されないので、\[\small
\begin{align}
E[X] &=\sum_{ k = 0 }^{ n } k\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\
&=\sum_{ k = 1 }^{ n } n\cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\
&=np\cdot \sum_{ k = 1 }^{ n } {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}\cdot p^{k-1}\cdot(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\
&=np\left\{p+(1-p)\right\}^{n-1}\\
&=np
\end{align}
\]

【二項分布の分散公式の証明】
分散の定義より、\[\small
\begin{align}
V[X] &=\sum_{ k = 0 }^{ n } (k-μ)^2\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\
&=\sum_{ k = 0 }^{ n } (k^2-2kμ+μ^2)\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\
&=\sum_{ k = 0 }^{ n } k^2\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} -2μ\sum_{ k = 0 }^{ n } k\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\
&+μ^2\sum_{ k = 0 }^{ n } {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\
&=(＊)
\end{align}
\]である。ここで 2 項目と 3 項目は以下のように変形できる。
$$\sum_{ k = 0 }^{ n } k\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}=μ=np$$$$\sum_{ k = 0 }^{ n } {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}=1^n=1$$であるから、\[\small
\begin{align}
(＊) &=\sum_{ k = 0 }^{ n } k^2\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} -2μ\sum_{ k = 0 }^{ n } k\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\
&=\sum_{ k = 0 }^{ n } k^2\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} -2μ\cdot μ + μ^2\cdot 1\\
&=\sum_{ k = 0 }^{ n } k^2\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} -μ^2\\
&=(＊＊)
\end{align}
\]となる。また、\(k \cdot {}_n \mathrm{ C }_k = n \cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}\) が成り立つことと、k = 1 から n までの総和としても差し支えないことから、
\[\small
\begin{align}
(＊＊)&=\sum_{ k = 0 }^{ n } k^2\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} -μ^2\\
&=\sum_{ k = 1 }^{ n } k\cdot k\cdot {}_n \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} -μ^2\\
&=\sum_{ k = 1 }^{ n } k\cdot n\cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} -μ^2\\
&=\sum_{ k = 1 }^{ n } \{(k-1)+1\}\cdot n\cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} -μ^2
\end{align}
\]となる。
ここで、\((k-1)+1\) で各項ごとに展開すると、以下のようになる。\[\small
\begin{align}
V[X]&=n \sum_{ k = 1 }^{ n } (k-1) {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\
&+n \sum_{ k = 1 }^{ n } {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} -μ^2\\
&=(＊＊＊)
\end{align}
\] 【第１項目の計算】
\((＊＊＊)\) の第１項目に関して \(p\) を1つ前へ出して、k = 0 番目からの総和へ変形すると、
\[\small
\begin{align}
n \sum_{ k = 1 }^{ n } (k-1) {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}\cdot p^{k-1}\cdot(1-p)^{n-k}&=np \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } k\cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_k\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{(n-1)-k}\\
\end{align}
\]となる。このΣ以降は、n → n-1 とした場合の二項分布の期待値の定義に他ならないので、以下のように計算できる。\[\small
\begin{align}
np \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } k\cdot {}_{n-1} \mathrm{ C }_k\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{(n-1)-k}=np\cdot (n-1)p\\
\end{align}
\] 【第２項目の計算】
\((＊＊＊)\) の第２項目に関しても同様に \(p\) を1つ前へ出して、k = 0 番目からの総和へ変形すると、
\[\small
\begin{align}
n \sum_{ k = 1 }^{ n } {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}&=np \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } {}_{n-1} \mathrm{ C }_k\cdot p^k\cdot(1-p)^{(n-1)-k}\\
\end{align}
\]となる。このΣ以降は、n → n-1 とした場合の二項展開の式に他ならないので、以下のように計算できる。\[\small
\begin{align}
np \sum_{ k = 0 }^{ n-1 } {}_{n-1} \mathrm{ C }_k\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{(n-1)-k}&=np\cdot \{p + (1-p)\}^{n-1}\\
&=np
\end{align}
\]【まとめ】従って、\((＊＊＊)\) にそれぞれを代入すると、

\[\small
\begin{align}
(＊＊＊)&=np\cdot (n-1)p + np - μ^2\\
&=np\cdot (n-1)p + np - (np)^2\\
&=np(1-p)
\end{align}
\]